Урок «Применение производной при решении задач ЕГЭ. Применение производной в заданиях егэ

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: повторение и обобщение.

Форма урока: урок-консультация.

Цели урока:

• обучающая : повторить и обобщить теоретические знания по темам: “Геометрический смысл производной” и “Применение производной к исследованию функций”; рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике; предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач; научить заполнять экзаменационный бланк ответов;
• развивающая : способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания; формированию таких ключевых компетенций, как сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей;
• воспитательная : развивать у обучающихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах); способствовать развитию потребности к самообразованию.

Технологии: развивающего обучения, ИКТ.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Алгебра и начала математического анализа.11 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / (Ю. М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин); под редакцией А. Б. Жижченко. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2011.

2. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. ; под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, 2011.

3. Открытый банк заданий.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика с установленной на него презентацией, для всех обучающихся распечатка памятки (Приложение 1) и оценочный лист (Приложение 2) .

Предварительная подготовка к уроку: в качестве домашнего задания обучающимся предлагается повторить по учебнику теоретический материал по темам: “Геометрический смысл производной”, “Применение производной к исследованию функций”; класс разбивается на группы (по 4 человека), в каждой из которых обучающиеся разных уровней.

Пояснение к уроку: данный урок проводится в 11 классе на этапе повторения и подготовки к ЕГЭ. Урок нацелен на повторение и обобщение теоретического материала, на применение его при решении экзаменационных задач. Продолжительность урока - 1,5 часа.

Данный урок не прикреплён к учебнику, поэтому может проводиться при работе по любому УМК. Также этот урок можно разбить на два отдельных и провести их как итоговые уроки по рассматриваемым темам.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Постановка целей урок.

III. Повторение по теме “Геометрический смысл производной”.

Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №3-7)

Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды №8-17)

IV. Самостоятельная работа 1.

Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды№18-26), свои ответы заносят в оценочный лист. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.242, 306-324 (дополнительные задания оцениваются отдельно).

V. Взаимопроверка.

Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд №27)

VI. Коррекция знаний.

VII. Повторение по теме “Применение производной к исследованию функций”

Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №28-30)

Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды № 31-33)

VIII. Самостоятельная работа 2.

Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды №34-46), свои ответы заносят в бланк ответов. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.243-305 (дополнительные задания оцениваются отдельно).

IX. Взаимопроверка.

Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд № 47).

X. Коррекция знаний.

Обучающиеся снова работают в своих группах, обсуждают решение, исправляют ошибки.

XI. Подведение итогов.

Каждый ученик подсчитывает свои баллы и выставляет в оценочный лист оценку.

Обучающиеся сдают учителю оценочный лист и решение дополнительных задач.

Каждый ученик получает памятку (слайд №53-54).

XII. Рефлексия.

Обучающимся предлагается оценить свои знания, выбрав одну из фраз:

• У меня всё получилось!!!
• Надо решить ещё пару примеров.
• Ну кто придумал эту математику!

XIII. Домашнее задание.

Для домашней работы учащимся предлагается выбрать для решения задания из сборника , стр. 242-334, а также из открытого банка заданий.

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Салтыковская средняя общеобразовательная школа

Ртищевского района Саратовской области»

Мастер – класс по математике

в 11 классе

по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ»

Провела учитель математики

Белоглазова Л.С.

2012-2013 учебный год

Цель мастер – класса : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Производная функции» для решения задач единого государственного экзамена.

Задачи

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме

«Производная функции», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).

Воспитательные: способствовать:

формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

развитию устойчивого интереса к математике;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Технологии : индивидуально–дифференцированного обучения, ИКТ.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика, тренажёр (Приложение №1), презентация к уроку (Приложение №2), индивидуально – дифференцированные карточки для самостоятельной работы в парах (Приложение №3), список сайтов сети Интернет, индивидуально-дифференцированное домашнее задание (Приложение №4).

Пояснение к мастер - классу. Данный мастер – класс проводится в 11 классе с целью подготовки к ЕГЭ. Нацелен на применение теоретического материала по теме «Производная функции» при решении экзаменационных задач.

Продолжительность мастер – класса – 30 мин.

Структура мастер - класса

I .Организационный момент -1 мин.

II .Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности-1 мин.

III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ». Анализ работы с тренажёром - 6 мин.

IV .Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка - 7 мин.

V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5 ЕГЭ

3 мин.

VI .Оn – line тестирование. Анализ результатов тестирования - 9 мин.

VII . Индивидуально – дифференцированное домашнее задание -1 мин.

VIII .Оценки за урок - 1 мин.

IX .Итог урока. Рефлексия -1 мин.

Ход мастер - класса

I.Организационный момент.

II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности.

(Слайды 1-2,пр иложение №2)

Тема нашего занятия «Производная функции в заданиях ЕГЭ». Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Тема «Производная» представлена в заданиях части В (В8, В14) единого государственного экзамена. Некоторые задания С5 также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.

Вы работали с документами, регламентирующими структуру и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике 2013. Сделайте вывод о том, какие знания и умения вам нужны для успешного решения задач ЕГЭ по теме «Производная» .

(Слайды 3-4, п риложение №2)

Мы изучили «Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена»,

«Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников», «Спецификацию контрольных измерительных материалов», «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013» и выяснили, какие знания и умения о функции и её производной нужны для успешного решения задач по теме «Производная».

Необходимо

• ЗНАТЬ

п равила вычисления производных;

производные основных элементарных функций;

геометрический и физический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
исследование функции с помощью производной.

УМЕТЬ

выполнять действия с функциями (описывать по графику поведение и свойства функции, находить её наибольшее и наименьшее значения).

ИСПОЛЬЗОВАТЬ

приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная». Сегодня мы будем УЧИТЬСЯ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕГЭ. ( Слайд 4, приложение №2)

Ведь недаром Аристотель говорил, что “УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ” ( Слайд 5, приложение №2)

В конце урока мы вернёмся к цели нашего занятия и выясним, достигли ли её?

III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ» (Приложение №1) . Анализ работы с тренажёром.

Выберите правильный ответ из четырёх предложенных.

В чём, по вашему мнению, заключается сложность выполнения задания В8?

Как вы думаете, какие типичные ошибки допускают выпускники на экзамене при решении этой задачи?

При ответах на вопросы задания В8 вы должны уметь описывать по графику производной поведение и свойства функции, а по графику функции – поведение и свойства производной функции. А для этого нужны хорошие теоретические знания по следующим темам: «Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Применение производной к исследованию функций».

Проанализируйте, какие задания вызвали у вас затруднения?

Какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

IV . Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка. (Приложение №3)

Вспомните алгоритм решения задач (В14 ЕГЭ) на нахождение точек экстремума, экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной.

Решите задачи с помощью производной.

Перед учащимися поставлена проблема:

«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи В14 другим способом, без применения производной?»

1 пара (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)

1)В14. Найдите точку минимума функции у =10х-ln (х+9)+6

2)В14. Найдите наибольшее значение функции y =

- Попытайтесь решить вторую задачу двумя способами.

2 пара (Санинская Т., Сазанов А.)

1)В14. Найдите наименьшее значение функции у=(х-10) на отрезке

2)В14. Найти точку максимума функции у= -

(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач на доске. Учащиеся 1 пары (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) предоставляют два способа решения задачи №2).

Разрешение проблемы. Вывод, который должны сделать учащиеся:

«Некоторые задачи В14 ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».

Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?

Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?

V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5(ЕГЭ) (Слайды 7-8, приложение №2 )

Лукьяновой К. было дано индивидуальное домашнее задание: из пособий по подготовке к ЕГЭ выбрать задачу с параметром (С5) и решить её с помощью производной.

(Учащаяся приводит решение задачи, опираясь на функционально - графический метод, как один из методов решения задач С5 ЕГЭ и даёт краткое объяснение данного метода).

Какие знания о функции и её производной необходимы при решении задач С5 ЕГЭ?

V I. Оn – line тестирование по заданиям В8, В14. Анализ результатов тестирования.

Сайт для тестирования на уроке:

Кто не допустил ошибок?

Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?

В каких заданиях допущены ошибки?

Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

VI I. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание

(Слайд 9, приложение №2 ), (Приложение №4).

Я подготовила список сайтов сети интернет для подготовки к ЕГЭ. Вы можете также проходить на этих сайтах О n – line тестирование. К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»;

2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» ( ) найти прототипы заданий В8 и В14 и решить не менее 10 задач;

3) Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачи с параметрами. Остальным учащимся решить задачи 1-8 (вариант 1).

VI II. Оценки за урок.

Какую оценку за урок ты бы себе поставил?

Как ты думаешь, можно было бы тебе работать на уроке лучше?

IХ. Итог урока. Рефлексия

Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?

Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.

Я почувствовал…

Я научился…

У меня получилось …

Я смог…

Я попробую …

Меня удивило, что …

Мне захотелось…

Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В8, В14), а Лукьянова К. выполнила задачу С5 с параметром, которая является задачей повышенной степени сложности.

Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.

Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» (Слайд 10, приложение №2).

Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!