Решение интегралов дроби. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций

Дробь называется правильной , если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Интеграл правильной рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Формула на интегрирование рациональных дробей зависит от корней многочлена в знаменателе. Если многочлен $ ax^2+bx+c $ имеет:

1. Только комплексные корни, то из него необходимо выделить полный квадрат: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{mx+n}{x^2 \pm a^2} $$
2. Различные действительные корни $ x_1 $ и $ x_2 $, то нужно выполнить разложение интеграла и найти неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{x-x_1} dx + \int \frac{B}{x-x_2} dx $$
3. Один кратный корень $ x_1 $, то выполняем разложение интеграла и находим неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $ для такой формулы: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{(x-x_1)^2}dx + \int \frac{B}{x-x_1} dx $$

Если дробь является неправильной , то есть старшая степень в числителе больше либо равна старшей степени знаменателя, то сначала её нужно привести к правильному виду путём деления многочлена из числителя на многочлен из знаменателя. В данном случае формула интегрирования рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx = \int Q(x) dx + \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Примеры решений

Пример 1

Найти интеграл рациональной дроби: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} $$

Решение

Дробь является правильной и многочлен имеет только комплексные корни. Поэтому выделим полный квадрат: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \int \frac{dx}{x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9} = $$ Сворачиваем полный квадрат и подводим под знак дифференциала $ x-5 $: $$ = \int \frac{dx}{(x-5)^2 - 9} = \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^2-9} = $$ Пользуясь таблицей интегралов получаем: $$ = \frac{1}{2 \cdot 3} \ln \bigg | \frac{x-5 - 3}{x-5 + 3} \bigg | + C = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$

Пример 2

Выполнить интегрирование рациональных дробей: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx $$

Решение

Решим квадратное уравнение: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_{12} = \frac{-5\pm \sqrt{25-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} $$ Записываем корни: $$ x_1 = \frac{-5-7}{2} = -6; x_2 = \frac{-5+7}{2} = 1 $$ С учётом полученных корней, преобразуем интеграл: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} dx = $$ Выполняем разложение рациональной дроби: $$ \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+6} = \frac{A(x-6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)} $$ Приравниваем числители и находим коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin{cases} A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} A = \frac{3}{7} \\ B = \frac{4}{7} \end{cases} $$ Подставляем в интеграл найденные коэффициенты и решаем его: $$ \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)}dx = \int \frac{\frac{3}{7}}{x-1} dx + \int \frac{\frac{4}{7}}{x+6} dx = $$ $$ = \frac{3}{7} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{4}{7} \int \frac{dx}{x+6} = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$

Ответ

$$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$

Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.

1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. п. 2).

Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.

3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти .

Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим

Следовательно,

Замечая, что , разложим правильную рациональную дробь

на простейшие дроби:

(см. формулу (18)). Поэтому

Таким образом, окончательно имеем

Пример 2. Найти

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу (16)), получим

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Пример.

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид. Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как , то. Поэтому

Следовательно,

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Решение.

Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей второго типа

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Решение.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей третьего типа

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

Поэтому,

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

Используем полученную формулу:

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите разделинтегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл

Решение.

Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):

После подстановки имеем:

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3 . Применяем рекуррентную формулу:

После обратной замены получаем результат:

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.

Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Из таблицы первообразных сразу заметим, что и.

Метод подведения под знак дифференциалапозволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:

К началу страницы

Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.

Воспользуемся методом подстановки:

Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:

Осталось провести обратную замену иt = sinx :

К началу страницы

Подробно о принципах их нахождении можете ознакомиться в разделеинтегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида, гдеm и n – натуральные числа.

К началу страницы

К началу страницы

Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.

Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так что выписывайте их на отдельный листочек и держите перед глазами.

Пример.

Найти множество первообразных функции .

Решение.

Формулы понижения степени дают и.

Поэтому

Знаменатель представляет собой формулу синуса суммы, следовательно,

Приходим к сумме трех интегралов.

К началу страницы

Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.

Выпишем тригонометрические формулы, выражающие синус, косинус, тангенс через тангенс половинного аргумента:

При интегрировании нам также понадобится выражение дифференциала dx через тангенс половинного угла.

Так как , то

То есть, , где.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Применим стандартную тригонометрическую подстановку:

Таким образом, .

Разложение на простейшие дробиподынтегральной функции приводит нас к сумме двух интегралов:

Осталось провести обратную замену :

11. Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n -ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.

Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.

К примеру, неопределенный интеграл можно взять, используя рекуррентную формулу.

Вывод формулы :

Используя формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx , следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся к исходному интегралу:

То есть,

Что и требовалось показать.

Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Используем рекуррентную формулу из четвертого пункта (в нашем примере n = 3 ):

Так как из таблицы первообразных имеем , то

Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left(x \right)}\) и \({Q\left(x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left(x \right)}\) больше степени \({Q\left(x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель \({Q\left(x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя ;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left(x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left(x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left(x \right)}\) на \({Q\left(x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = F\left(x \right) + \frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя \({Q\left(x \right)}\) в виде \[ {Q\left(x \right) } = {{\left({x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left({x - b} \right)^\beta }{\left({{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left({{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = \frac{A}{{{{\left({x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left({x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left({x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left({x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left(x \right)}.\)

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left(x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \ \ У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B"}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \ \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left({1 - k} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \ Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left({k - 1} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left({k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]

ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.

Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Выясним, каким образом они интегрируются.

3) (изучен ранее).

Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Пример 1.

Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

Пример 2.

Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.

Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3. комбинированный метод.

Пример 5. Разложить дробь на простейшие.

Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

2 способ – метод неопределенных коэффициентов:

Ответ:

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример 1. Найти интеграл

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложение на неприводимые сомножители знаменателя имеет вид Это означает, что разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей имеет следующий вид:

Найдем коэффициенты разложения комбинированным методом:

Таким образом,

Пример 2. Найти интеграл

Подынтегральная функция – неправильная дробь, поэтому выделяем целую часть:

Первый из интегралов – табличный, а второй вычислим разложением правильной дроби на простейшие:

Имеем по методу неопределенных коэффициентов:

Таким образом,